题目内容
【题目】已知:AB为⊙O的直径,P为AB延长线上的任意一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线PD与AC交于点D.
(1)如图1,若∠CPA恰好等于30°,求∠CDP的度数;
(2)如图2,若点P位于(1)中不同的位置,(1)的结论是否仍然成立?说明你的理由.
【答案】解:(1)连接OC,
∵PC是⊙O的切线,
∴OC⊥PC
∴∠OCP=90°.
∵∠CPA=30°,
∴∠COP=60°
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO=30°
∵PD平分∠APC,
∴∠APD=15°,
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°.
(2)∠CDP的大小不发生变化.
∵PC是⊙O的切线,
∴∠OCP=90°.
∵PD是∠CPA的平分线,
∴∠APC=2∠APD.
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∴∠COP=2∠A,
在Rt△OCP中,∠OCP=90°,
∴∠COP+∠OPC=90°,
∴2(∠A+∠APD)=90°,
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°.
即∠CDP的大小不发生变化.
【解析】(1)连接OC,则∠OCP=90°,根据∠CPA=30°,求得∠COP,再由OA=OC,得出∠A=∠ACO,由PD平分∠APC,即可得出∠CDP=45°.
(2)由PC是⊙O的切线,得∠OCP=90°.再根据PD是∠CPA的平分线,得∠APC=2∠APD.根据OA=OC,可得出∠A=∠ACO,即∠COP=2∠A,在Rt△OCP中,∠OCP=90°,则∠COP+∠OPC=90°,从而得出∠CDP=∠A+∠APD=45°.所以∠CDP的大小不发生变化.
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