题目内容
【题目】如图1,已知在平面直角坐标系中,点
、
、
分别为坐标轴上的三个点,且
,
,
.
(1)求经过、
、
三点的抛物线的解析式;
(2)点是抛物线上一个动点,且在直线
的上方,连接
、
,并把
沿
翻折,得到四边形
,那么是否存在点,使四边形
为菱形?若存在,请求出此时点
的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,过抛物线顶点作直线
轴,交
轴于点
,点
是抛物线上
、
两点间的一个动点(点
不与
、
两点重合),直线
、
与直线
分别交于点
、
,当点
运动时,
是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
点的坐标为
;(3)
(或
是定值).
【解析】
(1)先求出点A、B、C的坐标,再用待定系数法求出抛物线的解析式即可;
(2)先设点坐标为
,取
中点
,作
,则点
为所求,由此可以得到点M到y轴的距离是OB的一半,进而列出方程求解即可;
(3)过点作
轴交
轴与
,设
,由
,可得
以及
,进而得到
以及
,最后用含有t的代数式分别表示出EF和EG的长,化简即可.
(1)设抛物线的解析式为,
,
,
、
、
,
方程组
解得:,
,
,
经过
、
、
三点的抛物线的解析式为
;
(2)存在点,使四边形
为菱形.
理由为:设点坐标为
,
若使四边形是菱形,则需要满足
与
互相垂直且平分,
取中点
,作
,则点
为所求,
,
,
,
解得(不合题意,舍去),
点的坐标为
;
(3)(或
是定值),
理由如下:过点作
轴交
轴与
,如图:
设,则
,
,
∵点D为顶点,
∴DE为对称轴,
∴CE=AE=2,
,
∴,
∴,
;
又,
∴,
,
,

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