题目内容

【题目】如图1,已知在平面直角坐标系中,点分别为坐标轴上的三个点,且

1)求经过三点的抛物线的解析式;

2)点是抛物线上一个动点,且在直线的上方,连接,并把沿翻折,得到四边形,那么是否存在点,使四边形为菱形?若存在,请求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由;

3)如图2,过抛物线顶点作直线轴,交轴于点,点是抛物线上两点间的一个动点(点不与两点重合),直线与直线分别交于点,当点运动时,是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.

【答案】1;(2)存在, 点的坐标为;(3(或是定值).

【解析】

1)先求出点ABC的坐标,再用待定系数法求出抛物线的解析式即可;

2)先设点坐标为,取中点,作,则点为所求,由此可以得到点My轴的距离是OB的一半,进而列出方程求解即可;

3)过点轴交轴与,设,由,可得以及,进而得到以及,最后用含有t的代数式分别表示出EFEG的长,化简即可.

1)设抛物线的解析式为

方程组

解得:

经过三点的抛物线的解析式为

2)存在点,使四边形为菱形.

理由为:设点坐标为

若使四边形是菱形,则需要满足互相垂直且平分,

中点,作,则点为所求,

解得(不合题意,舍去),

点的坐标为

3(或是定值),

理由如下:过点轴交轴与,如图:

,则

∵点D为顶点,

DE为对称轴,

CE=AE=2

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