Question

如图1，是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CD′E′叠放在一起．
（1）操作：固定△ABC，将△CD′E′绕点C顺时针旋转得到△CDE，连接AD、BE，如图2．探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试说明理由；
（2）操作：固定△ABC，若将△CD′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于点F，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位长的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，如图3．探究：在图3中，除△ABC和△CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？写出你的结论并说明理由；
（3）探究：如图4，在（2）的条件下，将△PQR的顶点P移动至F点，求此时QH的长度．

Answer 1

（1）BE=AD
证明：由题意可得，BC=AC，CE=CD，
∵∠BCE+∠ACE=60°∠ACE+∠ACD=60°
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD．

（2）△HQC为等腰三角形
证明：因为∠FCB=30°，
所以∠ACF=30°，
又因为∠RQP=60°，
所以∠QHC=∠HCQ=30°，
所以△HQC为等腰三角形；

（3）由题意得，AF=2，在Rt△AFG中，FG=

3

，所以GR=3-

3

，
在Rt△GRH中，RH=2（3-

3

），
所以HQ=3-2（3-

3

）=2

3

-3