Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=12，BC=25，P是线段AB上一点（点P不与A，B重合），将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，CG，PG分别交线段AD于E，O．

（1）如图1，若OP=OE，求证：AE=PB；

（2）如图2，连接BE交PC于点F，若BE⊥CG．

①求证：四边形BFGP是菱形；

②当AE=9，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②

【解析】

（1）由折叠的性质可得PB=PG，∠B=∠G=90°，由“AAS”可证△AOP≌△GOE，可得OA=GO，即可得结论；

（2）①由折叠的性质可得∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，BP=PG，BF=FG，由平行线的性质可得∠BPF=∠BFP=∠GPC，可得BP=BF，即可得结论；

②由勾股定理可求BE的长，EC的长，由相似三角形的性质可得，可求BF=BP=5x=，由勾股定理可求PC的长，即可求解．

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形

∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠B=90°

∵将△PBC沿直线PC折叠，

∴PB=PG，∠B=∠G=90°

∵∠AOP=∠GOE，OP=OE，∠A=∠G=90°

∴△AOP≌△GOE（AAS）

∴AO=GO

∴AO+OE=GO+OP

∴AE=GP，

∴AE=PB，

（2）①∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，

∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，BP=PG，BF=FG

∵BE⊥CG，

∴BE∥PG，

∴∠GPF=∠PFB，

∴∠BPF=∠BFP，

∴BP=BF

∴BP=BF=PG=GF

∴四边形BFGP是菱形；

②∵AE=9，CD=AB=12，AD=BC=GC=25，

∴DE=AD-AE=16，BE==15，

在Rt△DEC中，EC==20

∵BE∥PG

∴△CEF∽△CGP

∴

∴==

∴设EF=4x，PG=5x，

∴BF=BP=GF=5x，

∵BF+EF=BE=15

∴9x=15

∴x=

∴BF=BP=5x=，

在Rt△BPC中，PC==

∴==