题目内容
【题目】如图，二次函数
的图象与
轴交于
，对称轴是直线
，与
轴交于点
．若点
，
同时从
点出发，都以每秒
个单位长度的速度分别沿
，
边运动．
（1）求该二次函数的解析式及点的坐标，与轴的另一个交点的坐标．
（2）当，运动到
秒时，
沿
翻折，点恰好落在轴上
点处，请判定此时四边形
的形状，并求出点坐标．
（3）当点运动到对称轴与的交点时，点往回运动，同时点则
倍的速度继续沿运动，在整个运动过程中，以点，，为顶点的三角形面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
（4）在段的抛物线上有一点
到线段的距离最大，请求出这个最大距离．
【答案】(1) 二次函数的解析式为
；点
的坐标为
；
点坐标为
；（2）
为菱形，点
的坐标为
；（3）最大值
；（4）最大距离为．
【解析】
(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式,进而求得点C和点A的坐标．
(2)先证明AMDN为菱形,再由菱形的性质得出OM∥AN,进而证明
,利用对应边成比例求出OD的值,即可求出D的坐标．
(3)①当M沿AB方向运动时,作辅助线证明
,利用对应边成比例求线段进而求出面积;②当点M沿BA方向运动时, 同样证明
,利用对应边成比例求出线段进而求出面积．
(4)通过一次函数的解析式设出R点坐标, 过点
作
于点
,过点作
轴的垂线段
得出N点坐标,由相似对应边成比例求出RG为二次函数,利用二次函数的最值解出即可．
解：（1）由已知，得
，解得
所以二次函数的解析式为．
由对称轴
以及点
的坐标
，可得点的坐标为．
将
代人抛物线方程，得
，所以点坐标为．
（2）如图1，因为四边形的四条边相等，所以为菱形，所以
．
，
，由，得
，即
解得
．又
，
，解得
，
点的坐标为．
图1
（3）①当点
沿
方向运动时，过做
垂直
于点
，如图2．
则
，由，得
．
即
，
，
，此时当
时，面积
取最大值
．
图2
②当点沿
方向运动时，如图3设返回时的时间为
，同样，
，
，
此时
，
当
时，
取得最大值
综合①②可知，点运动的整个过程，当时间为
时，
取得最大值．
图3
（4）求得
设此段抛物线上一点的坐标为
，过点作于点，
过点作轴的垂线段，交于点，则
点的坐标为
，
点的坐标为
，
，
由
，得
，
由
，得
，
，
得
．
当
时，
取最大值为．
图4
