题目内容
【题目】如图，直线y＝
x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝
∠ABC的点M的坐标．
【答案】（1）y＝
x2﹣
x﹣3；（2）点P（2，﹣
）；（3）
或
．
【解析】
（1）将点B坐标代入
并解得：
，故抛物线的表达式为：
，将点B坐标代入上式，即可求解；
（2）因为S四边形ACPB=S△AOC+S△PCB，∵S△AOC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB= 
，即可求解；
（3）过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M，利用角平分线的性质求出
的坐标，进而求直线
的解析式，联立解析式解方程组即可得到一个答案，利用角的对称性求出
在
下方时关于的对称点
，求出直线
的解析式，即可联立解析式求解．
解：（1）将点B坐标代入并解得：c＝﹣3，
故抛物线的表达式为：，
将点B坐标代入上式并解得：
，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；
（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，
设点
，则点
，
S四边形ACPB＝S△ABC+S△PCB，
∵S△ABC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，
S△PCB＝
×OB×PH＝
，
∵
＜0，∴S△PCB有最大值，此时，点P（2，﹣）；
（3） 过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M，
因为：
，所以：
，
由角平分线的性质得：
所以：
，
解得：
，所以：
，
设为：
，所以：
，解得：
，
所以为：
，
所以：
，
解得：
，
所以：此时M
过点G作GK⊥BC交BC于点K，延长GK交BM于点H，使
，
则
，BC是GH的中垂线， OB=4，OC=3，则BC=5，
在Rt△GCK中，
，
，
则cos∠CGK=
，sin∠CGK=
，
则点
，
因为点K是点GH的中点，
则点，
则直线BH的表达式为：
，
所以：
，
解得：
，
所以：．
综上：或．
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