Question

【题目】如图，ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．

（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．
（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∵AM⊥BD，CN⊥BD，

∴AM∥CN，

∴CM∥AN，AM∥CN，

∴四边形AMCN是平行四边形．

（2）

解：∵四边形AMCN是平行四边形，

∴CM=AN，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，CD∥AB，

∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，

在△MDE和△NBF中，

，

∴△MDE≌△NBF，

∴ME=NF=3，

在RT△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，

∴DM= = =5，

∴BN=DM=5．

【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．（1）只要证明CM∥AN，AM∥CN即可．（2）先证明△DEM≌△BFN得BN=DM，再在RT△DEM中，利用勾股定理即可解决问题．