Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．

（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，

∴ ，

解得 ．

∴抛物线解析式为y= x2+ x+3

（2）

解：如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），

∴F的纵坐标为3，

把y=3代入y= x2+ x+3得，3= x2+ x+3；

解得x=0或x=4，

∴F（4，3）

∴OH=4，

∵∠CDE=90°，

∴∠ODC+∠EDH=90°，

∴∠OCD=∠EDH，

在△OCD和△HDE中，

，

∴△OCD≌△HDE（AAS），

∴DH=OC=3，

∴OD=4﹣3=1；

【解析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的长；（3）①先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF=∠EDF，由于tan∠ECF= = = ，即可求得tan∠FDE= ； ②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1 ， 过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2 ， 则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直线CE的解析式为y=﹣ x+3，即可设出直线DG1的解析式为y=﹣ x+m，直线DG2的解析式为y=2x+n，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．