题目内容

【题目】问题提出

(1)如图①,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.
问题探究
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2,是否在边BC、CD上分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.
问题解决
(3)如图③,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米,现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,EF=FG= 米,∠EHG=45°,经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能裁出符合要求的部件,试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出裁得的四边形EFGH部件的面积;若不能,请说明理由.

【答案】
(1)

解:如图1,△ADC即为所求;


(2)

解:存在,理由:作E关于CD的对称点E′,

作F关于BC的对称点F′,

连接E′F′,交BC于G,交CD于H,连接FG,EH,

则F′G=FG,E′H=EH,则此时四边形EFGH的周长最小,

由题意得:BF′=BF=AF=2,DE′=DE=2,∠A=90°,

∴AF′=6,AE′=8,

∴E′F′=10,EF=2

∴四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2 +10,

∴在边BC、CD上分别存在点G、H,

使得四边形EFGH的周长最小,

最小值为2 +10;


(3)

解:能裁得,

理由:∵EF=FG= ,∠A=∠B=90°,∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°,

∴∠1=∠2,

在△AEF与△BGF中,

∴△AEF≌△BGF,

∴AF=BG,AE=BF,设AF=x,则AE=BF=3﹣x,

∴x2+(3﹣x)2=( 2,解得:x=1,x=2(不合题意,舍去),

∴AF=BG=1,BF=AE=2,

∴DE=4,CG=5,

连接EG,

作△EFG关于EG的对称△EOG,

则四边形EFGO是正方形,∠EOG=90°,

以O为圆心,以EG为半径作⊙O,

则∠EHG=45°的点在⊙O上,

连接FO,并延长交⊙O于H′,则H′在EG的垂直平分线上,

连接EH′GH′,则∠EH′G=45°,

此时,四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的,

∴C在线段EG的垂直平分线设,

∴点F,O,H′,C在一条直线上,

∵EG=

∴OF=EG=

∵CF=2

∴OC=

∵OH′=OE=FG=

∴OH′<OC,

∴点H′在矩形ABCD的内部,

∴可以在矩形ABCD中,裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件,

这个部件的面积= EGFH′= × ×( + )=5+

∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时,裁得了符合条件的最大部件,这个部件的面积为(5+ )m2


【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质,矩形的性质,勾股定理,轴对称的性质,存在性问题,掌握的作出辅助线利用对称的性质解决问题是解题的关键.(1)作B关于AC 的对称点D,连接AD,CD,△AC即为所求;(2)作E关于CD的对称点E′,作F关于BC的对称点F′,连接E′F′,得到此时四边形EFGH的周长最小,根据轴对称的性质得到BF′=BF=AF=2,DE′=DE=2,∠A=90°,于是得到AF′=6,AE′=8,求出E′F′=10,EF=2 即可得到结论;(3)根据余角的性质得到1=∠2,推出△AEF≌△BGF,根据全等三角形的性质得到AF=BG,AE=BF,设AF=x,则AE=BF=3﹣x根据勾股定理列方程得到AF=BG=1,BF=AE=2,作△EFG关于EG的对称△EOG,则四边形EFGO是正方形,∠EOG=90°,以O为圆心,以EG为半径作⊙O,则∠EHG=45°的点在⊙O上,连接FO,并延长交⊙O于H′,则H′在EG的垂直平分线上,连接EH′GH′,则∠EH′G=45°,于是得到四边形EFGH′是符合条件的最大部件,根据矩形的面积公式即可得到结论.

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