Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．

（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意知：BP=2t，AP=10﹣2t，AQ=2t，

∵PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，

t= ，

即当t为 s时，PQ∥BC；

（2）

解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠C=90°，

过P作PD⊥AC于D，

则PD∥BC，

∴△APD∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，

PD= （10﹣2t），

∴S= AQPD= 2t （10﹣2t）=﹣ t2+6t=﹣ （t﹣ ）2+7.5，

∵﹣ ＜0，开口向下，有最大值，

当t= 秒时，S的最大值是7.5cm2．

（3）

解：假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，

则S△APQ= S△ABC

即﹣ t2+6t= × ×8×6

t2﹣5t+10=0，

∵△=52﹣4×1×10=﹣15＜0，

∴此方程无解，

即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

【解析】（1）证△APQ∽△ABC，推出 = ，代入得出 = ，求出方程的解即可（2）求出∠C=90°，过P作PD⊥AC于D，证△APD∽△ABC，代入得出方程 = ，求出PD= （10﹣2t），根据三角形的面积公式求出即可；（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程﹣ t2+6t= × ×8×6，求出此方程无解，即可得出答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的性质的相关知识，掌握对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，以及对相似三角形的判定的理解，了解相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．