Question

【题目】如图，□ABCD 中，AE 平分∠BAD，交BC 于E，DE⊥AE，下列结论：①DE平分∠ADC；②E 是BC 的中点；③AD=2CD；④四边形ADCE 的面积与△ABE的面积比是3：1，其中正确的结论的个数有（ ）

A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD=∠BAE=∠BAD，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAE+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAD=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
同理EC=DC，
∴EB=EC，
∴E是BC的中点，故②正确；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵BE=EC，
∴AD=2CD，故③正确；
④∵四边形ABCD是平行四边形
∴S△AED=S平行四边形ABCD ，
∴S△ABE+S△EDC═S平行四边形ABCD ，
∵EB=EC，
∴S△ABE=S△EDC ，
∴四边形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1，故④正确，
故选：A．
【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的判定和平行四边形的性质，需要了解如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能得出正确答案．