题目内容
【题目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，在△ABC外侧作∠ACM，使得∠ACM＝
∠ABC，点D是射线CB上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．
（1）当点D与点B重合时，如图1所示，线段DF与EC的数量关系是 ；
（2）当点D运动到CB延长线上某一点时，线段DF和EC是否保持上述数量关系？请在图2中画出图形，并说明理由．
【答案】（1）DF＝2EC；（2）仍然成立；理由见解析.
【解析】
（1）延长BA、CM交于点N，先证明BC=BN，得出CN=2CE，再证明△BAF≌△CAN，得BF=CN，即可得出结论；
（2）作∠PDE=22.5°，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，先证明DC=PD，得出PC=2CE，再证明△DNF≌△PNC，得出DF=PC，即可得出结论．
（1）DF＝2EC，理由是：
如图1，延长BA、CM交于点N，
∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∠AFB＝∠EFC，
∴∠ABE＝∠ACM＝
∠ABC，
∴BE平分∠ABC，
∵BE⊥CN，
∴BC＝BN，
∴E是CN的中点，
∴NC＝2CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝∠CAN＝90°，
∴△BAF≌△CAN(ASA)，
∴BF＝CN，
∴BF＝2EC，即DF＝2EC；
（2）仍然成立，DF＝2EC；
理由如下：如图2，作∠PDE＝22.5°，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，
∵DE⊥PC，∠ECD＝67.5，
∴∠EDC＝22.5°，
∴∠PDE＝∠EDC，∠NDC＝45°，
∴∠DPC＝67.5°，
在△DPE和△DEC中，
，
∴△DPE≌△DEC（AAS），
∴PD＝CD，PE＝EC，
∴PC＝2CE，
∵∠NDC＝45°，∠NCD＝45°，
∴∠NCD＝∠NDC，∠DNC＝90°，
∴△NDC是等腰直角三角形
∴ND＝NC且∠DNC＝∠PNC，
在△DNF和△PNC中，
，
∴△DNF≌△PNC（ASA），
∴DF＝PC，
∴DF＝2CE．
【题目】在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．
（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：
三三角形角形 | 角的已知量 |
|
|
图2 | ∠A=2∠B=90° | ||
图3 | ∠A=2∠B=60° |
（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明；
（3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长．（直接写出结论即可）
