题目内容
【题目】规定两数之间的一种运算,记作(
);如果
,那么(
)
,例如因为
,所以(2,8)=3.
(1)根据上述规定,填空:(4,16)= ,(7,1)= ,( ,81)=4.
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象,(,
)=(3,4),小明给出了如下的证明:
设(,
)
,所以
,即
,所以
,
即(3,4),所以(
,
)=(3,4),请你尝试运用这种方法解决下列问题:
①证明:(6,45)-(6,9)=(6,5)
②猜想:(,
)+(
,
)=( , )(结果化成最简形式)
【答案】(1)2,0,;(2)①见解析;②
.
【解析】
(1)根据规定的两数之间的运算法则解答;
(2)①根据同底数幂的乘法法则,结合定义证明;
②根据例题和①中证明的式子作为公式进行变形即可.
解:(1)因为42=16,所以【4,16】=2.
因为70=1,所以【7,1】=0.
因为(±3)4=81,所以【±3,81】=4.
故答案为:2,0,±3;
(2)①证明:设【6,9】=x,【6,5】=y,则6x=9,6y=5,
∴5×9=45=6x6y=6x+y,
∴【6,45】=x+y,
则:【6,45】=【6,9】+【6,5】,
∴【6,45】-【6,9】=【6,5】;
②∵【3n,4n】=【3,4】,
∴【(x+1)m,(y-1)m】
=【(x+1),(y-1)】,【(x+1)n,(y-2)n】
=【(x+1),(y-2)】,
∴【(x+1)m,(y-1)m】+【(x+1)n,(y-2)n】,
=【(x+1),(y-1)】+【(x+1),(y-2)】,
=【(x+1),(y-1)(y-2)】,
=【(x+1),(y2-3y+2)】.
故答案为:(x+1),(y2-3y+2).

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