题目内容

【题目】如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,且AD平分∠BAC.嘉淇同学先是以A为圆心,任意长为半径画弧,交AD于点P,交AC于点Q,然后以点C为圆心,AP长为半径画弧,交AC于点M,再以M为圆心,PQ长为半径画弧,交前弧于点N,作射线CN,交BA的延长线于点E

1)通过嘉淇的作图方法判断ADCE的位置关系是  ,数量关系是 

2)求证:ABAC

3)若BC24CE10,求△ABC的内心到BC的距离.

【答案】1ADCEEC2AD;(2)见解析;(3r

【解析】

1)由作图方法可知∠DAC=∠ACE,则ADCE,根据BC2BD,可证CE2AD

2)由(1)知△ABD∽△EBC,证出BE2AB,得ABAE,又ACAE,则ABAC

3)设△ABC内心到BC距离为r,可得,即可求出r

1)∵嘉淇的作图方法可知∠DAC=∠ACE

ADCE

∴△ABD∽△EBC

AD为边BC上的中线,

BC2BD

CE2AD

故答案为:ADCEEC2AD

2)证明:∵ADCE

∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE

AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠DAC

∴∠ACE=∠E

ACAE

由(1)知△ABD∽△EBC

EB2AB,即ABAE

ABAC

3)解:∵BC24CE10

BD12AD5

ABACBDCD

ADBD

设△ABC内心到BC距离为r

6012r13r

25r60

r

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