题目内容
如图,C为以AB为直径的⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为点D.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若CD3,AC=3,求⊙O的半径长.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若CD3,AC=3,求⊙O的半径长.
(1)证明:连结OC(如图所示)
则∠ACO=∠CAO (等腰三角形,两底角相等)
∵CD切⊙O于C,∴CO⊥CD.
又∵AD⊥CD
∴AD∥CO
∴∠DAC=∠ACO (两直线平行,内错角相等)
∴∠DAC=∠CAO
∴AC平分∠BAD ----------------5分
(2)过点E画OE⊥AC于E(如图所示)
在Rt△ADC中,AD==6
∵OE⊥AC, ∴AE=AC=
∵ ∠CAO=∠DAC,∠AEO=∠ADC=Rt∠
∴△AEO∽△ADC
∴ 即
∴AO= 即⊙O的半径为. ----------------5分
则∠ACO=∠CAO (等腰三角形,两底角相等)
∵CD切⊙O于C,∴CO⊥CD.
又∵AD⊥CD
∴AD∥CO
∴∠DAC=∠ACO (两直线平行,内错角相等)
∴∠DAC=∠CAO
∴AC平分∠BAD ----------------5分
(2)过点E画OE⊥AC于E(如图所示)
在Rt△ADC中,AD==6
∵OE⊥AC, ∴AE=AC=
∵ ∠CAO=∠DAC,∠AEO=∠ADC=Rt∠
∴△AEO∽△ADC
∴ 即
∴AO= 即⊙O的半径为. ----------------5分
(1)连接OC,根据切线与圆的关系和直角三角形内角之间的关系,可以推出AC平分∠DAB;
(2)作OE⊥AC,根据勾股定理,利用相似三角形即可得出圆的半径
(2)作OE⊥AC,根据勾股定理,利用相似三角形即可得出圆的半径
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