Question

如图，已知直线y=kx+2经过点P（1，

5

2

），与x轴相交于点A；抛物线y=ax²+bx（a＞0）经过点A和点P，顶点为M．
（1）求直线y=kx+2的表达式；
（2）求抛物线y=ax²+bx的表达式；
（3）设此直线与y轴相交于点B，直线BM与x轴相交于点C，点D的坐标为（

8

3

，0），试判断△ACB与△ABD是否相似，并说明理由．

Answer 1

（1）将点P（1，

5

2

）代入直线y=kx+2中，得：
k+2=

5

2

，k=

1

2

；
∴直线AB的解析式：y=

1

2

x+2．

（2）由直线AB的解析式知：A（-4，0）、B（0，2）．
将点A（-4，0）、P（1，

5

2

）代入y=ax²+bx（a＞0）中，得：

16a-4b=0 a+b= 5 2

，解得

a= 1 2 b=2

∴抛物线的解析式：y=

1

2

x²+2x．

（3）由（2）的抛物线知：点M（-2，-2）；
由于直线BM经过点B（0，2），设该直线的解析式：y=mx+2，有：
-2m+2=-2，m=2
即直线BM：y=2x+2，得点C（-1，0）．
由A（-4，0）、B（0，2）得：AB²=OA²+OB²=20；
由C（-1，0）、D（

8

3

，0），得：AC•AD=（4-1）×（4+

8

3

）=20；
∴AB²=AC•AD
又∠BAC=∠DAB，
∴△ACB∽△ABD．