题目内容
如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，且A（0，-2），AB=4，连接AC，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当P运动到OC上时，设点P的移动时间为t秒，当PQ⊥AC时，求t的值；
（3）当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当P运动到OC上时，设点P的移动时间为t秒，当PQ⊥AC时，求t的值；
（3）当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．
（1）∵矩形OABC的两边在坐标轴上，且A（0，-2），AB=4，
∴B点坐标为：（4，-2），
∴将A，B两点代入y=x2+bx+c得：
，
解得：
，
∴抛物线解析式为：y=x2-4x-2；
（2）由题意知：A点移动路程为AP=t，
Q点移动路程为7（t-1）=7t-7．
当Q点在OA上时，即0≤7t-7＜2，1≤t＜
时，
如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC．
∴
=
，即
=
，
∴t=
．
∵
＞
，
∴此时t值不合题意．
当Q点在OC上时，即2≤7t-7＜6，
≤t＜
时，
如图2，过Q点作QD⊥AB．
∴AD=OQ=7（t-1）-2=7t-9．
∴DP=t-（7t-9）=9-6t．
若PQ⊥AC，易证Rt△QDP∽Rt△ABC，
∴
=
，即
=
，
∴t=
，
∵
＜
＜
，
∴t=
符合题意．
当Q点在BC上时，即6≤7t-7≤8，
≤t≤
时，
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，
则QG⊥PG，即∠GQP=90°．
∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，
此时PQ不与AC垂直．
综上所述，当t=
时，有PQ⊥AC．
（3）当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，
∴
=
，
∴
=
，
解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC．
此时AP=2，BQ=CQ=1，
∴P（2，-2），Q（4，-1）．
抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H1为对称轴与OP的交点时，
有∠H1OQ=∠POQ，
∴当yH＜-2时，∠HOQ＞∠POQ．
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，
过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，
在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1．
∴OQ=
，
∵S△OPQ=S四边形ABCO-S△AOP-S△COQ-S△QBP=3=
OQ×PM，
∴PM=
，
∴PP′=2PM=
，
∵∠NPP′=∠COQ．
∴△COQ∽△NPP′
∴
=
，
∴P′N=
，PN=
，
∴P′（
，
），
∴直线OP′的解析式为y=
x，
∴OP′与NP的交点H2（2，
）．
∴当yH＞
时，∠HOP＞∠POQ．
综上所述，当yH＜-2或yH＞
时，∠HOQ＞∠POQ．
∴B点坐标为：（4，-2），
∴将A，B两点代入y=x2+bx+c得：
|
解得：
|
∴抛物线解析式为：y=x2-4x-2；
（2）由题意知：A点移动路程为AP=t，
Q点移动路程为7（t-1）=7t-7．
当Q点在OA上时，即0≤7t-7＜2，1≤t＜
| 9 |
| 7 |
如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC．
∴
| QA |
| AB |
| AP |
| BC |
| 7t-7 |
| 4 |
| t |
| 2 |
∴t=
| 7 |
| 5 |
∵
| 7 |
| 5 |
| 9 |
| 7 |
∴此时t值不合题意．
当Q点在OC上时，即2≤7t-7＜6，
| 9 |
| 7 |
| 13 |
| 7 |
如图2，过Q点作QD⊥AB．
∴AD=OQ=7（t-1）-2=7t-9．
∴DP=t-（7t-9）=9-6t．
若PQ⊥AC，易证Rt△QDP∽Rt△ABC，
∴
| QD |
| AB |
| DP |
| BC |
| 2 |
| 4 |
| 9-6t |
| 2 |
∴t=
| 4 |
| 3 |
∵
| 9 |
| 7 |
| 4 |
| 3 |
| 13 |
| 7 |
∴t=
| 4 |
| 3 |
当Q点在BC上时，即6≤7t-7≤8，
| 13 |
| 7 |
| 15 |
| 7 |
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，
则QG⊥PG，即∠GQP=90°．
∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，
此时PQ不与AC垂直．
综上所述，当t=
| 4 |
| 3 |
（3）当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，
∴
| BP |
| BA |
| BQ |
| BC |
∴
| 4-t |
| 4 |
| 8-7(t-1) |
| 2 |
解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC．
此时AP=2，BQ=CQ=1，
∴P（2，-2），Q（4，-1）．
抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H1为对称轴与OP的交点时，
有∠H1OQ=∠POQ，
∴当yH＜-2时，∠HOQ＞∠POQ．
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，
过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，
在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1．
∴OQ=
| 17 |
∵S△OPQ=S四边形ABCO-S△AOP-S△COQ-S△QBP=3=
| 1 |
| 2 |
∴PM=
6
| ||
| 17 |
∴PP′=2PM=
12
| ||
| 17 |
∵∠NPP′=∠COQ．
∴△COQ∽△NPP′
∴
| CQ |
| OQ |
| P′N |
| PP′ |
∴P′N=
| 12 |
| 17 |
| 48 |
| 17 |
∴P′（
| 46 |
| 17 |
| 14 |
| 17 |
∴直线OP′的解析式为y=
| 7 |
| 23 |
∴OP′与NP的交点H2（2，
| 14 |
| 23 |
∴当yH＞
| 14 |
| 23 |
综上所述，当yH＜-2或yH＞
| 14 |
| 23 |
练习册系列答案
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为直径作⊙D，设⊙D的半径为2．
