Question

【题目】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

（1）如图1、用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；

（2）如图2、⊙O与直线BC相切D点，求x的值为多少？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）s=（0＜x＜4）；（2）x=；（3）当x=时,y值最大，最大值是2．

【解析】

（1）由平行易得△AMN∽△ABC，根据相似三角形对应线段成比例可用含x的代数式表示出AN，MN，结合矩形的性质可求出△MNP的面积；

（2）连接OD，过M点作MQ⊥BC，由两组对应角分别相等的两个三角形相似可得△BQM∽△BAC，由相似三角形对应线段成比例可得x的值；

（3）M点在运动的过程中，P点落在BC上，连接AP，O点就是AP的中点，由△AMO∽△ABP相似的性质可得AM=2，分两种情况讨论①当0＜x≤2时，重合部分的面积即为△MNP的面积，由（1）可得y关于x的函数表达式，根据x的取值范围确定y最大值即可；②当2＜x＜4时，设PM交BC于E，PN交BC于F，利用矩形AMPN和平行四边形MBFN的性质可用含x的式子表示出PF，由△PEF∽△ABC的性质可得的面积，根据重合部分的面积可得y关于x的函数表达式，结合函数表达式与自变量x的取值范围可得y的最大值.

（1）在三角形ABC中∠A=900，AB=4，AC=3

∴BC=5

∵MN//BC

∴△AMN∽△ABC

∴

即

∴AN=，MN=

又∵AMPN为矩形

所以PM=AN=，PN=AM=x

所以△MNP的面积s=PM×PN×=

即s=（0＜x＜4）

（2）AM=x,则MB=4-x

如图，连接OD，D为切点，过M点作MQ⊥BC，Q为垂足；

依题意可得：OD=OM=ON=

∵MN∥BC

∴OD⊥BC，MQ⊥BC

∴MQ=OD=

∵∠A=∠MQB=900，∠B=∠B

∴△BQM∽△BAC

∴

∴BM=

∴x=

所以当x=时，⊙O与直线BC相切D点.

（3）M点在运动的过程中，P点落在BC上，如图

连接AP，O点就是AP的中点.

∵MN∥BC

∴△AMO∽△ABP

∴

∴AM=2

故分两种情况讨论：

①当0＜x≤2时

△MNP与梯形BCNM重合的面积

当x=2时，y有最大值y=

②当2＜x＜4时，如图

设PM交BC于E，PN交BC于F

AM=x，则MB=4-x

∵四边形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN=AM=x

又∵MN∥BC

∴四边形MBFN是平行四边形

又∵△PEF∽△ABC

∴

S△PEF=

=

∴当x=时，满足2＜x＜4，y有最大值，y=2

综上所述，当x=，y值最大，最大值是2．