Question

如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P。

（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若OC＝CP，AB＝，求CD的长。

Answer 1

（1）证明见解析；（2）．

试题分析：（1）连接AO，AC（如图）．欲证AP是⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可；
（2）利用（1）中切线的性质在Rt△OAP中利用边角关系求得∠ACO=60°．然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函数的定义知AC=3，CD=．
试题解析：（1）证明：如图，连结AO，AC.

∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠CAD＝90°.
∵E是CD的中点，
.
∴∠ECA＝∠EAC.
，
∴∠OAC＝∠OCA.
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC.
∴∠ECA＋∠OCA＝90°.
∴∠EAC＋∠OAC＝90°.
即∠OAP＝90°
∴OA⊥AP.
∵A是⊙O上一点，
∴AP是⊙O的切线.
（2）解：由（1）知OA⊥AP.
在Rt△OAP中，∵∠OAP＝90°，OC＝CP＝OA，即OP＝2OA，
.
∴∠P＝30°.
∴∠AOP＝60°.
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝60°.
在Rt△BAC中，∵∠BAC＝90°，AB＝，∠ACO＝60°，
.
又∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，∠ACD＝90°－∠ACO＝30°，
.
考点: 1.切线的判定与性质；2.解直角三角形．