题目内容
7.如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,有下列五个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=3AF;③DF=DC;④tan∠CAD=$\sqrt{2}$;③S△ABF:S四边形BCDF=1:4.其中.正确的是①③⑤(填序号).分析 ①四边形ABCD是矩形,BE⊥AC,则∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB;故①正确;
②由AE=AD=$\frac{1}{2}$BC,又AD∥BC,所以$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=2;故②错误;
③过D作DM∥BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形,求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论,故③正确;
④设AE=a,AB=b,则AD=2a,由△BAE∽△ADC,得出b=$\sqrt{2}$a,进而得出tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$故④错误;
⑤由AE∥BC,推出$\frac{AE}{BC}$=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{1}{2}$,设S△AEF=S△DEF=m,推出S△ABF=2m,S△BFC=4m,S矩形ABCD=12m,S矩形BCDF=8m,推出S△ABF:S四边形BCDF=1:4,故⑤正确;
解答 解:如图,过D作DM∥BE交AC于N,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,
∵BE⊥AC于点F,
∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故①正确;
∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{CF}$,
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC,
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$,
∴CF=2AF,故②错误;
∵DE∥BM,BE∥DM,
∴四边形BMDE是平行四边形,
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC,
∴BM=CM,
∴CN=NF,
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,
∴DN⊥CF,
∴DM垂直平分CF,
∴DF=DC,故③正确;
设AE=a,AB=b,则AD=2a,
由△BAE∽△ADC,有 $\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{b}$,即b=$\sqrt{2}$a,
∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$故④错误;
∵AE∥BC,
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{1}{2}$,设S△AEF=S△DEF=m,
∴S△ABF=2m,S△BFC=4m,S矩形ABCD=12m,S矩形BCDF=8m,
∴S△ABF:S四边形BCDF=1:4,故⑤正确;
故答案为①③⑤.
点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用,正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键.解题时注意:相似三角形的对应边成比例.
分组 | 频数 |
50.5~60.5 | 4 |
60.5~70.5 | 8 |
70.5~80.5 | 10 |
80.5~90.5 | 16 |
90.5~100.5 | 12 |
合计 | 50 |
(2)补全频数直方图;
(3)全体参赛学生中,竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多?80.5~90.5
(4)若成绩在90分以上(不含90分)为优秀,则该校成绩优秀的约为多少人?
A. | ①② | B. | ②④ | C. | ②③④ | D. | ①②③④ |
A. | $\frac{12}{5}$ | B. | $\frac{12}{13}$ | C. | $\frac{5}{13}$ | D. | $\frac{5}{12}$ |