Question

【题目】已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小1． （Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）斜率不为0且过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A，B两点，设 =λ ，当△AOB的面积为4 时（O为坐标原点），求λ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小于1， ∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线l′：y=﹣1的距离相等，
∴点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为x2=4y．
（Ⅱ）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣2），即y=kx+（2﹣2k），
代入x2=4y，得x2﹣4kx+8（k﹣1）=0，（*）
△=16（k2﹣2k+2）＞0对k∈R恒成立，
所以，直线m与曲线C恒有两个不同的交点，
设交点A，B的坐标分别为A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则x1+x2=4k，x1x2=8（k﹣1），
∴|AB|= ，
又O到直线AB的距离d= ，
∴S△AOB= |AB|d=4|k﹣1| =4 =4 ，
∴（k﹣1）2（k2﹣2k+2）=（k﹣1）4+（k﹣1）2=2，解得（k﹣1）2=1，∴k=0（舍）或k=2．
把k=2代入方程（*），得x2﹣8x+8=0，解得x=4±2 ，
∵ =λ ，∴λ= =3﹣2 或λ= =3+2
【解析】（Ⅰ）由题设知：点M的轨迹C是以F为焦点，以直线y=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线m的方程为y=kx+（2﹣2k），代入抛物线方程，由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式得出三角形的面积，求出k，得出A，B的横坐标，根据相似比得出λ的值．