题目内容

【题目】随着社会发展,广州市在一天的上下班时段经常会出现堵车严重的现象.交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为T,其范围为[0,10],分别有5个级别;T∈[0,2)畅通;T∈[2,4)基本畅通;T∈[4,6)轻度拥堵;T∈[6,8)中度拥堵;T∈[8,10)严重拥堵.早高峰时段(T≥3),从广州市交通指挥中心随机选取了50个交通路段进行调查,依据交通指数数据绘制的直方图如图所示:
(1)据此直方图,估算交通指数T∈[3,9)时的中位数和平均数;
(2)据此直方图,求市区早高峰马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率;
(3)某人上班路上所用时间,若畅通时为20分钟,基本畅通为30分钟,轻度拥堵为35分钟;中度拥堵为45分钟;严重拥堵为60分钟,求此人上班所用时间的数学期望.

【答案】
(1)解:由直方图知:T∈[3,9]时交通指数的中位数为5+1× =

T∈[3,9]时交通指数的平均数3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1=5.92


(2)解:)设事件A为“一条路段严重拥堵”,则P(A)=0.1.

则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为:P= + =

∴3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为


(3)解:由题意,所用时间x的分布列如下表:

x

30

35

45

60

P

0.1

0.44

0.36

0.1

则Ex=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6.

∴此人经过该路段所用时间的数学期望是40.6分钟


【解析】(1)由直方图知:T∈[3,9]时交通指数的中位数为5+1× .T∈[3,9]时交通指数的平均数3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1.(2)设事件A为“一条路段严重拥堵”,则P(A)=0.1.则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为:P= + .(3)由题意,所用时间x的分布列如下表,即可得出此人经过该路段所用时间的数学期望.
【考点精析】利用离散型随机变量及其分布列对题目进行判断即可得到答案,需要熟知在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.

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