Question

（2013年四川眉山3分）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE²+DC²=DE²，
其中正确的有【   】个．

A．1     B．2      C．3     D．4

Answer 1

C。

①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．
在△AED与△AEF中，∵，∴△AED≌△AEF（SAS）。①正确。
②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°。
∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等。
∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，∴∠BAE与∠CAD不一定相等。
∴△ABE与△ACD不一定相似。②错误。
③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF。
在△ACD与△ABF中，∵，∴△ACD≌△ABF（SAS）。∴CD=BF。
由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF。
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE。③正确。
④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°。
∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°。
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE²+BF²=EF²。
∵BF=DC，EF=DE，∴BE²+DC²=DE²。④正确。
综上所述，正确的结论有①③④。故选C。