Question

【题目】如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点．

判断与的大小关系？并说明理由；

当点运动到何处时，四边形是矩形？并说出你的理由；

在的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形．直接写出答案，不需说明理由．

Answer 1

【答案】(1）详见解析；（2）当为中点时，四边形是矩形，理由详见解析；（3）当是直角三角形时，即当时，四边形会是正方形，理由详见解析.

【解析】

（1）利用平行线的性质得：∠OEC＝∠ECB，根据角平分线的定义可知：∠ACE＝∠ECB，由等量代换和等角对等边得：OE＝OC，同理：OC＝OF，可得结论；

（2）先根据对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由角平分线可得：∠ECF＝90°，利用有一个角是直角的平行四边形可得结论；

（3）由（2）可知，当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形，再证明AC⊥EF，即可得出答案．

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

同理可得：，

∴；

当为中点时，四边形是矩形；

理由如下：

∵，（已证），

∴四边形是平行四边形，

∵平分，平分，

∴，，

∴，

即，

∴四边形是矩形；

当是直角三角形时，即当时，四边形会是正方形；

理由：由得，当点为的中点时，四边形是矩形，

∵，平分，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是正方形．