Question

【题目】在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：△AOC′≌△BOD′．

（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2．
①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；
②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD，

∴OA=OC=OB=OD，

又∵OD=OD′，OC=OC′，

∴OB=OD′=OA=OC′，

∵∠D′OD=∠C′OC，

∴180°﹣∠D′OD=180°﹣∠C′OC，

∴∠BOD′=∠AOC′，

∴在△BOD′和△AOC′中，

∴△BOD′≌△AOC′

（2）

解：①△AOC′∽△BOD′；理由如下：

∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC，

又∵OD=OD′，OC=OC′，

∴OC′=OA，OD′=OB，

∵∠D′OD=∠C′OC，

∴180°﹣∠D′OD=180°﹣∠C′OC，

∴∠BOD′=∠AOC′，

∴△BOD′∽△AOC′，

∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，

∵AC=kBD，

∴AC′=kBD′，

∴△BOD′∽△AOC′；

②AC′=kBD′，∠AMB=α；

设BD′与OA相交于点N，

∴∠BNO=∠ANM，

∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM=180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，

综上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α

【解析】（1）根据矩形的性质及角之间的关系证明△BOD′≌△AOC′；（2）①先进行假设，然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案；②易证△BOD′≌△C′OA，则AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，从而得出∠AMB=α．