题目内容
【题目】解答
(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数.
(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.
(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3 ,求AG,MN的长.
【答案】
(1)解:在Rt△ABE和Rt△AGE中,AB=AG,AE=AE,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL).
∴∠BAE=∠GAE.
同理,∠GAF=∠DAF.
∴
(2)解:MN2=ND2+DH2.
∵∠BAM=∠DAH,∠BAM+∠DAN=45°,
∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°.
∴∠HAN=∠MAN.
又∵AM=AH,AN=AN,
∴△AMN≌△AHN.
∴MN=HN.
∵∠BAD=90°,AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=45°.
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°.
∴NH2=ND2+DH2.
∴MN2=ND2+DH2
(3)解:由(1)知,BE=EG,DF=FG.
设AG=x,则CE=x﹣4,CF=x﹣6.
在Rt△CEF中,
∵CE2+CF2=EF2,
∴(x﹣4)2+(x﹣6)2=102.
解这个方程,得x1=12,x2=﹣2(舍去负根).
即AG=12.
在Rt△ABD中,
∴ .
在(2)中,MN2=ND2+DH2,BM=DH,
∴MN2=ND2+BM2.
设MN=a,则 .
即a 2=(9 ﹣a) 2+(3
) 2,
∴ .即
.
【解析】(1)根据高AG与正方形的边长相等,证明三角形全等,进而证明角相等,从而求出解.(2)用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论.(3)设出线段的长,结合方程思想,用数形结合得到结果.
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