题目内容
如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°．
（l）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=3
，求扇形0AC的面积．（结果保留π）
（l）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=3
| 3 |
（1）证明：连接OC，
∵AC=CD，且∠D=30°，
∴∠A=∠D=30°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COD=∠ACO+∠A=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）由（1）得△OCD是直角三角形，
∵在Rt△OCD中，CD=3
，∠D=30°，
∴OC=CDtan30°=3
×
=3，
∴S扇形OAC=
=π．
∵AC=CD，且∠D=30°，
∴∠A=∠D=30°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COD=∠ACO+∠A=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）由（1）得△OCD是直角三角形，
∵在Rt△OCD中，CD=3
| 3 |
∴OC=CDtan30°=3
| 3 |
| ||
| 3 |
∴S扇形OAC=
| 120π×3 |
| 360 |
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