题目内容

如图,等边△ABC的边长为6,BC在x轴上,BC边上的高线AO在y轴上,直线l绕点A转动(与线段BC没有交点).设与AB、l、x轴相切的⊙O1的半径为r1,与AC、l、x轴相切的⊙O2半径为r2
(1)求两圆的半径之和;
(2)探索直线l绕点A转动到什么位置时两圆的面积之和最小?最小值是多少?
(3)若r1-r2=
3
,求经过点O1、O2的一次函数解析式.
(1)解法1:设切点分别为M、N、E、F、P、Q,由切线定义,可得AM=AP,AN=AQ,EB=BP,FC=CQ,MN=EF,
∴MN+EF=18,MN=EF,
∴EF=9,
∴EB+FC=9-6=3,
∵∠EBP=120°,
∴∠EBO1=60°,
∴r1=
3
EB,
同理r2=
3
CF,
∴r1+r2=
3
(EB+FC)=3
3

解法2:∵∠EBP=120°,
∴∠EBO1=60°,
∴EB=PB=
3
3
r1
,同理CF=CQ=
3
3
r2

∴由EF=MN得:
3
3
r1
+6+
3
3
r2
=(6-
3
3
r1
)+(6-
3
3
r2

∴r1+r2=3
3

评分参考:①利用Rt△解得r与切线关系(2分);②得出结果r1+r2=3
3
,(2分)

(2)两圆面积之和S=π
r21
+π(3
3
-r1)2=2π[(r1-
3
3
2
)2+
27
4
]
,(2分)
∴当r1=
3
3
2
时,面积之和最小,这时r1=r2,直线lx轴,(1分)
面积和的最小值为
27
2
π
;(1分)

(3)由r1+r2=3
3
,r1-r2=
3
,解得O1(-5,2
3
)
O2(4,
3
)
,(2分)
直线O1O2解析式为y=-
3
9
x+
13
3
9
.(2分)
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