题目内容

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.P为BC的中点,动点Q从点P出发,沿射线PC方向以2cm/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t s.
(1)当t=1.2时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由;
(2)已知⊙O为△ABC的外接圆.若⊙P与⊙O相切,求t的值.
(1)直线AB与⊙P相切,
如图,过P作PD⊥AB,垂足为D,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∵AC=6cm,BC=8cm,
∴AB=10cm,
∵P为BC中点,
∴PB=4cm,
∵∠PDB=∠ACB=90°,
∠PBD=∠ABC,
∴△PBD△ABC,
PD
AC
=
PB
AB

PD
6
=
4
10

∴PD=2.4(cm),
当t=1.2时,PQ=2t=2.4(cm),
∴PD=PQ,即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径,
∴直线AB与⊙P相切;

(2)∵∠ACB=90°,
∴AB为△ABC的外接圆的直径,
∴BO=
1
2
AB=5cm,
连接OP,
∵P为BC中点,PO为△ABC的中位线,
∴PO=
1
2
AC=3cm,
∵点P在⊙O内部,
∴⊙P与⊙O只能内切,
∴当⊙P在⊙O内部时:5-2t=3,
当⊙O在⊙P内部时2t-5=3,
∴t=1或4,
∴⊙P与⊙O相切时,t的值为1或4.
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