题目内容
【题目】如图,已知,将一个直角三角形纸片(
)的一个顶点放在点
处,现将三角形纸片绕点
任意转动,
平分斜边
与
的夹角,
平分
.
(1)将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在
的内部),若
,则
_______;
(2)将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在
的内部),若射线
恰好平方
,若
,求
的度数;
(3)将三角形纸片绕点从
与
重合位置逆时针转到
与
重合的位置,猜想在转动过程中
和
的数量关系?并说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
,证明见解析
【解析】
(1)利用角平分线定义得出,
,再利用∠AOB的和差关系进行列方程即可求解;
(2)利用,表达出∠AOC、∠BOD,利用∠AOB的和差关系进行列方程即可求解;
(3)画出图形后利用角的和差关系进行计算求解即可.
解:(1)∵平分斜边
与
的夹角,
平分
.
∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD
∴设
∴,
∵
∴
∴
故答案为:
(2)∵
∴设
∵射线恰好平方
∴
∴
∵平分斜边
与
的夹角,
平分
.
∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD
∴
∴
∵
∴
∴
(3) ,证明如下:
当OC与OA重合时,设∠COD=x,则
∵ON平分∠BOD
∴
∴
∴
当OC在OA的左侧时
设∠AOD=a,∠AOC=b,则∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-a,∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b
∵ON平分∠BOD
∴
∵OM平分∠AOC
∴
∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON
当OD与OA重合时
∵ON平分∠AOB
∴
∵OM平分∠AOC
∴
∴
综上所述

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