题目内容
【题目】如图,AD是等腰△ABC底边BC上的高,点O是AC中点,延长DO到E
使AE∥BC,连接AE。
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)①若AB=17,BC=16,则四边形ADCE的面积= ;
②若AB=10,则BC= 时,四边形ADCE是正方形。
【答案】(1)见解析;(2)①120; ②.
【解析】试题分析:(1)根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形,根据垂直推出∠ADC=90°,根据矩形的判定得出即可;
(2)①求出DC,根据勾股定理求出AD,根据矩形的面积公式求出即可;
②要使ADCE是正方形,只需要AC⊥DE,即∠DOC=90°,只需要OD2+OC2=DC2,即可得到BC的长.
试题解析:(1)证明:∵AE∥BC,∴∠AEO=∠CDO.又∵∠AOE=∠COD,OA=OC,∴△AOE≌△COD,∴OE=OD,而OA=OC,∴四边形ADCE是平行四边形.∵AD是BC边上的高,∴∠ADC=90°.∴□ADCE是矩形.
(2)①解:∵AD是等腰△ABC底边BC上的高,BC=16,AB=17,∴BD=CD=8,AB=AC=17,∠ADC=90°,由勾股定理得:AD==
=15,∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120.
②当BC=时,DC=DB=
.∵ADCE是矩形,∴OD=OC=5.∵OD2+OC2=DC2,∴∠DOC=90°,∴AC⊥DE,∴ADCE是正方形.
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