题目内容
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,以AC为一边,在△ABC外部作等腰直角三角形ACD,求线段BD的长.
考点:等腰直角三角形
专题:分类讨论
分析:分情况讨论,①以A为直角顶点,向外作等腰直角三角形DAC;②以C为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD;③以AC为斜边,向外作等腰直角三角形ADC.分别画图,并求出BD.
解答:解:①以A为直角顶点,向外作等腰直角三角形DAC,
∵∠DAC=90°,且AD=AC,
∴BD=BA+AD=1+1=2;
②以C为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD,
连接BD,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E.
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACD=90°,
∴∠DCE=45°,
又∵DE⊥CE,
∴∠DEC=90°,
∴∠CDE=45°,
∴CE=DE=1×
=
,
在Rt△BAC中,BC=
,
∴BD=
=
;
③以AC为斜边,向外作等腰直角三角形ADC,
∵∠ADC=90°,AD=DC,且AC=2,
∴AD=DC=ACsin45°=1×
,
又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=∠ACD=45°,
∴∠BCD=90°,
又∵在Rt△ABC中,BC=
,
∴BD=
=
,
综上所述:BD的长等于2或
或
.
∵∠DAC=90°,且AD=AC,
∴BD=BA+AD=1+1=2;
②以C为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD,
连接BD,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E.
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACD=90°,
∴∠DCE=45°,
又∵DE⊥CE,
∴∠DEC=90°,
∴∠CDE=45°,
∴CE=DE=1×
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2 |
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2 |
在Rt△BAC中,BC=
2 |
∴BD=
BE2+DE2 |
5 |
③以AC为斜边,向外作等腰直角三角形ADC,
∵∠ADC=90°,AD=DC,且AC=2,
∴AD=DC=ACsin45°=1×
| ||
2 |
又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=∠ACD=45°,
∴∠BCD=90°,
又∵在Rt△ABC中,BC=
2 |
∴BD=
BC2+CD2 |
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2 |
综上所述:BD的长等于2或
5 |
| ||
2 |
点评:本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识,解题时注意分类讨论,不要漏掉所有可能的情况.
练习册系列答案
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A、d≈
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B、d≈
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C、d≈
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D、d≈
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