题目内容
如图,平面直角坐标系中,已知B(-3,0),C(3,0),点A(0,m)在y
轴正半轴上,P为线段OA上一动点(不与点A、O重合),BP交AC于点E、CP交AB于点F.
(1)求证:BE=CF;
(2)当m=4,BF=2AF时,求点F的坐标;
(3)以线段BE、CF、BC为边构成一个新△BCG(点E与F重合于点G),如果存在点P,恰使S△BCG=S△BCA,求m的取值范围.
轴正半轴上,P为线段OA上一动点(不与点A、O重合),BP交AC于点E、CP交AB于点F.
(1)求证:BE=CF;
(2)当m=4,BF=2AF时,求点F的坐标;
(3)以线段BE、CF、BC为边构成一个新△BCG(点E与F重合于点G),如果存在点P,恰使S△BCG=S△BCA,求m的取值范围.
考点:全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,三角形的面积,等腰三角形的性质
专题:几何综合题
分析:(1)根据点B、C的坐标判断出y轴是BC的垂直平分线,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=AC,PB=PC,根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB,∠PBC=∠PCB,然后利用“角边角”证明△BCF和△CBE全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=CF;
(2)连接OF,先求出△AOB的面积,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△BOF和△AOF的面积,再根据三角形的面积列式求出点F的横坐标与纵坐标的长度,从而得解;
(3)设∠BAC=α,根据三角形的面积求出BE=BA,根据等边对等角可得∠BEA=∠BAE=α,根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形两锐角互余求出∠ACB,再根据三角形的内角和定理求出α<90°,根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角可得∠AEB>∠ACB,然后求出α>60°,然后分α=60°和90°时求出m的值即可得解.
(2)连接OF,先求出△AOB的面积,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△BOF和△AOF的面积,再根据三角形的面积列式求出点F的横坐标与纵坐标的长度,从而得解;
(3)设∠BAC=α,根据三角形的面积求出BE=BA,根据等边对等角可得∠BEA=∠BAE=α,根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形两锐角互余求出∠ACB,再根据三角形的内角和定理求出α<90°,根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角可得∠AEB>∠ACB,然后求出α>60°,然后分α=60°和90°时求出m的值即可得解.
解答:(1)证明:∵B(-3,0),C(3,0),
∴OB=OC,
∴y轴是BC的垂直平分线,
又∵点A在y轴正半轴上,点P在线段OA上,
∴AB=AC,PB=PC,
∴∠ABC=∠ACB,∠PBC=∠PCB,
在△BCF和△CBE中,
,
∴△BCF≌△CBE(ASA),
∴BE=CF;
(2)解:如图,连接OF,
∵m=4,OB=3,
∴S△AOB=
×3×4=6,
∵BF=2AF,
∴S△BOF=
×6=4,S△AOF=
×6=2,
∴
yF•3=4,
(-xF)•4=2,
解得yF=
,xF=-1,
∴点F的坐标为(-1,
);
(3)解:设∠BAC=α,
∵S△BCG=S△BCA,△BCG和△BCA都是等腰三角形,BC是公共边,
∴BE=BA,
∴∠BEA=∠BAE=α,
∴∠ACB=90°-∠OAC=90°-
α,
在△ABE中,∠BEA+∠BAE=2α<180°,
∴α<90°,
在△BEC中,∠AEB>∠ACB,
∴α>90°-
α,
解得α>60°,
故60°<α<90°,
当α=60°时,△ABC是等边三角形,
∵OC=3,
∴m=AO=
OC=3
,
当α=90°时,△ABC是等腰直角三角形,
m=AO=OC=3,
∴m的取值范围是3<m<3
.
∴OB=OC,
∴y轴是BC的垂直平分线,
又∵点A在y轴正半轴上,点P在线段OA上,
∴AB=AC,PB=PC,
∴∠ABC=∠ACB,∠PBC=∠PCB,
在△BCF和△CBE中,
|
∴△BCF≌△CBE(ASA),
∴BE=CF;
(2)解:如图,连接OF,
∵m=4,OB=3,
∴S△AOB=
1 |
2 |
∵BF=2AF,
∴S△BOF=
2 |
1+2 |
1 |
1+2 |
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
解得yF=
8 |
3 |
∴点F的坐标为(-1,
8 |
3 |
(3)解:设∠BAC=α,
∵S△BCG=S△BCA,△BCG和△BCA都是等腰三角形,BC是公共边,
∴BE=BA,
∴∠BEA=∠BAE=α,
∴∠ACB=90°-∠OAC=90°-
1 |
2 |
在△ABE中,∠BEA+∠BAE=2α<180°,
∴α<90°,
在△BEC中,∠AEB>∠ACB,
∴α>90°-
1 |
2 |
解得α>60°,
故60°<α<90°,
当α=60°时,△ABC是等边三角形,
∵OC=3,
∴m=AO=
3 |
3 |
当α=90°时,△ABC是等腰直角三角形,
m=AO=OC=3,
∴m的取值范围是3<m<3
3 |
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的面积,坐标与图形性质,等腰三角形的判定与性质,(2)从三角形的面积考虑求出点F的横坐标与纵坐标是解题的关键,(3)根据三角形的面积求出BE=BA并求出∠BAC的范围是解题的关键,也是本题的难点.
练习册系列答案
相关题目
将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A′B′C′,则A点的对应点A′的坐标是( )
A、(3,0) |
B、(2,2) |
C、(-3,-2) |
D、(2,1) |