题目内容
【题目】已知；直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．
（1）如图1，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．求∠G的度数；
（2）如图2，EI和EK为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点I和K，猜想∠FIE和∠K的关系，并证明；
（3）如图3，点Q为线段EF（端点除外）上的一个动点，过点Q作EF的垂线交AB于R，交CD于J，∠AEF、∠CJR的平分线相交于P，问∠EPJ的度数是否会发生变化？若不发生变化，求出∠EPJ的度数；若会发生变化，请说明理由．
【答案】（1）90°；（2）∠EIF+∠K＝180°；（3）∠EPJ＝45°；
【解析】
（1）根据
、
分别平分
和
，得到
，
，由于
到
，于是得到
，即可得到结论；
（2）过点
作
，由已知可得
，
，得到
，由于
平分，求得
，由于
，于是得到
，由于，得到
，然后根据平行线的性质即可得到结论；
（3）根据
、
的平分线相交于
，得到
，
，由于
，得到
，且
；根据
，得
，再利用等量代换即可得到结论．
解：（1）∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴2∠FEG+2∠GFE＝180°，
∴∠FEG+∠GFE＝90°，
∵∠EGF+∠FEG+∠GFE＝180°，
∴∠EGF＝90°；
（2）猜想：∠EIF+∠K＝180°．如图，过点I作IH∥AB，
∵AB∥CD，∴IH∥CD，
由已知可得∠K＝∠1+∠3，∠EIF＝∠BEI+∠IFD，
∴∠3＝∠KFD，
∵FK平分∠EFD，
∴∠4＝∠KFD，
∵∠1＝∠2，
∴∠K＝∠2+∠4，
∵∠EIF＝∠BEI+∠IFD，
∴∠EIF+∠K＝∠2+∠4+∠BEI+∠IFD＝∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠EIF+∠K＝180°；
（3）∠EPJ＝45°，理由如下：
∵AB∥CD，
∴易得∠EPJ＝∠AEP+∠PIC，且∠AEF＝∠JFE，
∵∠AEF、∠CJR的平分线相交于P，
∴∠AEF＝2∠AEP，∠CJR＝2∠PJC，
∵RJ⊥EF，
∴∠FQJ＝90°，
∴∠EFJ+∠CJR＝90°，
∴∠AEF+∠CJR＝90°，
∴2∠AEP+2∠PJC＝90°，
∴∠AEP+∠PJC＝45°，
∴∠EPJ＝45°．
【题目】[实际背景]预警方案确定：
设
，如果当月
则下个月要采取措施防止“猪贱伤农”．
[数据收集]今年2月-5月玉米、猪肉价格统计表：
月份 | 2 | 3 | 4 | 5 |
玉米价格(元/ |
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猪肉价格(元/ |
|
|
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[问题解决]（1）若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求3月的猪肉价格
；
（2）若今年6月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪内价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测了月时是否要采取措施防止“碧败伤农”；
（3）若今年6月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的
倍，而每月的猪肉价格增长率都为
．则到7月时只用
元就可以买到
克猪肉和克玉米．请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤衣”．