题目内容
【题目】如图,边长为2的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(点P与A、C不重合),连接BP,将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ;连接PQ,PQ与BC交于点E,QP延长线与AD(或AD延长线)交于点F,连接CQ.求证:
(1)CQ=AP;
(2)△APB∽△CEP.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)由题意可知AB=BC,∠ABP=∠CBQ,BP=BQ,利用“SAS”证明△ABP≌△CBQ,根据全等三角形的性质即可证明;
(2)由正方形的性质得∠BAC=∠BCA=45°,从而∠APB+∠ABP=135°.由旋转的性质△PBQ是等腰直角三角形,从而∠APB+∠CPQ=135°,由等量代换可得∠CPQ=∠ABP,进而可证△APB∽△CEP.
证明:(1)如图,∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ,
∴BP=BQ,∠PBQ=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BA=BC,∠ABC=90°.
∴∠ABC=∠PBQ.
∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC,即∠ABP=∠CBQ.
在△BAP和△BCQ中,
∵,
∴△BAP≌△BCQ(SAS).
∴CQ=AP;
(2)如图,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠BAD=45°,∠BCA=
∠BCD=45°,
∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°,
∵△PBQ是等腰直角三角形,
∴∠BPQ=45°,
∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°,
∴∠CPQ=∠ABP,
∵∠BAC=∠ACB=45°,
∴△APB∽△CEP.
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