题目内容

【题目】如图,边长为2的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(点PA、C不重合),连接BP,将BP绕点B顺时针旋转90°BQ;连接PQ,PQBC交于点E,QP延长线与AD(或AD延长线)交于点F,连接CQ.求证:

(1)CQ=AP;

(2)APB∽△CEP.

【答案】(1)见解析;(2)见解析

【解析】试题分析:1)由题意可知AB=BCABP=∠CBQBP=BQ,利用“SAS”证明ABP≌△CBQ,根据全等三角形的性质即可证明;

2由正方形的性质得BAC=∠BCA=45°从而APB+∠ABP=135°.由旋转的性质PBQ是等腰直角三角形,从而APB+∠CPQ=135°由等量代换可得CPQ=∠ABP进而可证APB∽△CEP

证明:(1)如图,∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ,

BP=BQ,PBQ=90°.

∵四边形ABCD是正方形,

BA=BC,ABC=90°.

∴∠ABC=PBQ.

∴∠ABC﹣PBC=PBQ﹣PBC,即∠ABP=CBQ.

在△BAP和△BCQ中,

∴△BAP≌△BCQ(SAS).

CQ=AP;

(2)如图,∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BAC=BAD=45°,BCA=BCD=45°,

∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°,

∵△PBQ是等腰直角三角形,

∴∠BPQ=45°,

∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°,

∴∠CPQ=ABP,

∵∠BAC=ACB=45°,

∴△APB∽△CEP.

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