题目内容
【题目】在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG 的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）
【答案】（1）BF=CG，证明见解析；（2）DE+DF=CG，证明见解析；（3）成立．
【解析】
（1）证明△ABF和△ACG全等就可以得出答案；
（2）证明△FDC和△HCD全等就可以得出答案；
（3）同（2）可得结论.
解：（1）BF=CG；
证明：在△ABF和△ACG中，
∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴BF=CG；
（2）DE+DF=CG；
证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图）
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG，
∴四边形EDHG为矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS），
∴DF=CH，
∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；
（3）仍然成立．证明同（2）
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