Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c经过点（0，6），其对称轴为直线x=

3

2

．在x轴上方作平行于x轴的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在对称轴的右侧），过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C． 设A点的横坐标为m．
（1）求此抛物线所对应的函数关系式．
（2）当m为何值时，矩形ABCD为正方形．
（3）当m为何值时，矩形ABCD的周长最大，并求出这个最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先根据对称轴求得b值，然后代入点（0，6）求得c值即可；
（2）①首先用含m的代数式表示出线段AB、AD的长，然后利用正方形ABCD的AB=CD得到有关m的等式求得m的值即可；
②表示出正方形的周长，然后利用配方法求最值即可；

解答：解：（1）∵对称轴为直线x=

3

2

，
∴-

b

2×(-1)

=

3

2

，
∴b=3．
把（0，6）代入y=-x²+3x+c得，
6=-0+3×0+c，
解得c=6．
∴此抛物线所对应的函数关系式为y=-x²+3x+6．

（2）根据题意，得：AB=2(m-

3

2

)=2m-3
，AD=-m²+3m+6．
∵ABCD为正方形，AB=AD．
∴2m-3=-m²+3m+6，
解得m=

1± 37

2

．
∵点A在对称轴的右侧，
∴m＞

3

2

．
∴m=

1- 37

2

舍去．
∴m=

1+ 37

2

．

（3）设矩形ABCD的周长为C．
C=2[(2m-3)+(-m2+3m+6)]=-2(m-

5

2

)2+

37

2

．
∴当m=

5

2

时，矩形ABCD的周长最大为

37

2

．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、配方法确定二次函数的顶点坐标及最值等知识，难度中等，能够考查同学们应用知识的能力．