题目内容
【题目】在图“书香八桂,阅读圆梦”读数活动中,某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若OB=10,CD=8,求BE的长.
【答案】(1)证明过程见解析;(2)12.
【解析】
试题分析:(1)连接OD,由BD为角平分线得到一对角相等,根据OB=OD,等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,进而确定出OD与BC平行,利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径,即可得证;(2)由OD与BC平行得到三角形OAD与三角形BAC相似,由相似得比例求出OA的长,进而确定出AB的长,连接EF,过O作OG垂直于BC,利用勾股定理求出BG的长,由BG+GC求出BC的长,再由三角形BEF与三角形BAC相似,由相似得比例求出BE的长即可.
试题解析:(1)连接OD, ∵BD为∠ABC平分线, ∴∠1=∠2, ∵OB=OD, ∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3,
∴OD∥BC, ∵∠C=90°, ∴∠ODA=90°, 则AC为圆O的切线;
(2)过O作OG⊥BC, ∴四边形ODCG为矩形, ∴GC=OD=OB=10,OG=CD=8,
在Rt△OBG中,利用勾股定理得:BG=6, ∴BC=BG+GC=6+10=16, ∵OD∥BC,
∴△AOD∽△ABC, ∴=,即=, 解得:OA=, ∴AB=+10=,
连接EF, ∵BF为圆的直径, ∴∠BEF=90°, ∴∠BEF=∠C=90°, ∴EF∥AC,
∴=,即=, 解得:BE=12.
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