Question

如图，以AB为直径的半圆O交AC于点D，且点D为AC的中点，DE⊥BC于点E，AE交半圆O于点F，BF的延长线交DE于点G．

（1）求证：DE为半圆O的切线；
（2）若GE=1，BF=，求EF的长．

Answer 1

解：（1）证明：如图，连接OD，

∵AB为半圆O的直径，D为AC的中点，
∴OD为△ABC的中位线。∴OD∥BC。
∵DE⊥BC，∴DE⊥DO。
又∵点D在圆上，∴DE为半圆O的切线。
（2）∵AB为半圆O的直径，∴∠AFB=90°。
∵DE⊥BC，∴∠GEB=∠GFE=90°。
∵∠BGE=∠EGF，∴△BGE∽△EGF。
∴。∴GE²=GF•GB=GF（GF+BF）。
∵GE=1，BF=，∴GF=。
在Rt△EGF中，。

试题分析：（1）连接OD，易得OD为△ABC的中位线，则OD∥BC，由于DE⊥BC，所以DE⊥DO，然后根据切线的判定定理即可得到结论。
（2）由AB为半圆O的直径得到∠AFB=90°，易证得△BGE∽△EGF，利用可计算出GF，然后在Rt△EGF中利用勾股定理可计算出EF。