Question

【题目】已知：A是以BC为直径的圆上的一点，BE是⊙O的切线，CA的延长线与BE交于E点，F是BE的中点，延长AF，CB交于点P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AF=3，BC=8，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AB，OA，OF；

∵F是BE的中点，

∴FE=BF．

∵OB=OC，

∴OF∥EC．

∴∠C=∠POF．

∴∠AOF=∠CAO．

∵∠C=∠CAO，

∴∠POF=∠AOF．

∵BO=AO，OF=OF，

∴∠OAP=∠EBC=90°．

∴PA是⊙O的切线

（2）解：∵BE是⊙O的切线，PA是⊙O的切线，

∴BF=AF=3，

∴BE=6．

∵BC=8，∠CBE=90°，

∴CE=10．

∵BE是⊙O的切线，

∴EB2=AEEC．

∴AE=3.6．

【解析】（1）要想证PA是⊙O的切线，只要连接OA，求证∠OAP=90°即可；（2）先由切线长定理可知BF=AF，再在RT△BCE中根据勾股定理求出CE，最后由切割线定理求出AE的长．