题目内容
如图1,平面之间坐标系中,等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动,点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,经过O,C两点做抛物线(a为常数,a>0),该抛物线与斜边AB交于点E,直线OA:y2=kx(k为常数,k>0)
(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A ,k= ;
(2)随着三角板的滑动,当a=时:
①请你验证:抛物线的顶点在函数的图象上;
②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;
(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2﹣y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.
解:(1)∵点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,∴点A的坐标是(t,4)。
∵直线OA:y2=kx(k为常数,k>0),∴4=kt,则(k>0)。
(2)①当a=时,,其顶点坐标为。
对于,当x=时,
∴点在抛物线上。
∴当a=时,抛物线的顶点在函数的图象上。
②如图1,过点E作EK⊥x轴于点K,
∵AC⊥x轴,∴AC∥EK。
∵点E是线段AB的中点,∴K为BC的中点。
∴EK是△ACB的中位线。
∴EK=AC=2,CK=BC=2。∴E(t+2,2)。
∵点E在抛物线上,
∴,解得t=2。
∴当三角板滑至点E为AB的中点时,t=2。
(3)如图2,由得,
解得,或x=0(不合题意,舍去)。
∴点D的横坐标是。
当时,|y2﹣y1|=0,由题意得,即。
又,
∴当时,取得最大值。
又当时,取得最小值0,
∴当时,的值随x的增大而减小,当时,的值随x的增大而增大。
由题意,得,将代入得,解得。
综上所述,a与t的关系式为,t的取值范围为。
解析试题分析:(1)根据题意易得点A的横坐标与点C的相同,点A的纵坐标即是线段AC的长度;把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值:
(2)①求得抛物线y1的顶点坐标,然后把该坐标代入函数,若该点满足函数解析式,即表示该顶点在函数图象上;反之,该顶点不在函数图象上。
②如图1,过点E作EK⊥x轴于点K.则EK是△ACB的中位线,所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标,把点E的坐标代入抛物线即可求得t=2。
(3)如图2,根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是,则,由此可以求得a与t的关系式。由求得取得最大值时的x值,同时由时,取得最小值0,得出当时,的值随x的增大而减小,当时,的值随x的增大而增大。从而由题意,得,结合,求出t的取值范围。
一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系:
x | 3000 | 3200 | 3500 | 4000 |
y | 100 | 96 | 90 | 80 |
(2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.用含x(x≥3000)的代数式填表:
租出的车辆数 | | 未租出的车辆数 | |
租出每辆车的月收益 | | 所有未租出的车辆每月的维护费 | |
(2013年浙江义乌10分)为迎接中国森博会,某商家计划从厂家采购A,B两种产品共20件,产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数.下表提供了部分采购数据.
采购数量(件) | 1 | 2 | … |
A产品单价(元/件) | 1480 | 1460 | … |
B产品单价(元/件) | 1290 | 1280 | … |
(2)经商家与厂家协商,采购A产品的数量不少于B产品数量的,且A产品采购单价不低于1200元.求该商家共有几种进货方案;
(3)该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A,B两种产品,且全部售完.在(2)的条件下,求采购A种产品多少件时总利润最大,并求最大利润.