Question

（2013年四川广安10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），
∴，解得。
∴抛物线的解析式为y=﹣x²﹣2x+3。
（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3。∴△AOB是等腰直角三角形。∴∠BAO=45°。
∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°。
又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形。∴PD越大，△PDE的周长越大。
易得直线AB的解析式为y=x+3，
设与AB平行的直线解析式为y=x+m，
联立，消掉y得，x²+3x+m﹣3=0，
当△=3²﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，
此时x=，y=+=，
∴点P（，）时，△PDE的周长最大。
②抛物线y=﹣x²﹣2x+3的对称轴为直线，
（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°。
∴∠APF=∠QPM。
∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS）。∴PF=PQ。
设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n）。
∵点P在抛物线y=﹣x²﹣2x+3上，∴﹣n²﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n²+n﹣4=0。
解得n₁=（舍去），n₂=，﹣1﹣n=﹣1﹣=，
∴点P的坐标为（，）。
（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN。
又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ。
∴PF=AQ。
设点P坐标为P（x，﹣x²﹣2x+3），
则有﹣x²﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，
解得x=（不合题意，舍去）或x=。
∴点P坐标为（，2）。
综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（，2）。

解析