题目内容
【题目】如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M． 
（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DGCF=DMEG；
（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．
【答案】
（1）证明：如图1所示，
∴D，E分别为AB，BC中点，
∴DE∥AC
∵DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴DM=EF，
如图2所示，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，
∵∠AFE=∠A，
∴∠BDE=∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，
∵∠BDG=∠C，
∴∠GDE=∠FEC，
∴△DEG∽△ECF；
∴ 
，
∴ 
，
∴ 
，
∴DGCF=DMEG
（2）解：如图3所示，
∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，
∴△BDG∽△BED，
∴ 
，
∴BD2=BGBE，
∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，
又∵∠FEH=∠CEF，
∴△EFH∽△ECF，
∴ 
= 
，
∴EF2=EHEC，
∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF=DM=DA=BD，
∴BGBE=EHEC，
∵BE=EC，
∴EH=BG=1．
【解析】（1）先判断出四边形DEFM是平行四边形得到DM=EF，由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证代换，即可；（2）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BGBE=EHEC，又BE=EC，所以EH=BG=1
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
