题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,点 A(2,0),B(0,4), C 在第一象限.

(1)如图 1,连接 AB、BC、AC,OBC=90°,BAC=2ABO,求点 C 的坐标;

(2)动点 P 从点 B 出发,以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴负方向运动,连接 AP,设 P 点的 运动时间为 t 秒,AOP 的面积为 S,用含 t 的式子表示 S,并直接写出 t 的取值范围;

(3)如图 2,在(1)条件下,点 P 在线段 OB 上,连接 AP、PC,AB PC 相交于点 Q,S=3, BAC=BPC 时,求ACQ 的面积.

1 2

【答案】(1)C(4,4);(2);(3) .

【解析】分析: (1) ADBCD,可得D(4,2),BD=2,根据ABD≌△ACD,BC=4,从而

可知C点坐标.

(2)分两种情况根据三角形的面积公式即可求出,一种是当,此时点POB;另一种是点Px轴负半轴上运动时,此时.

3 AEPCE,作BFPCF,CGABG,可得BP=3,OP=1,由(1)中ABD≌△ACDAB=AC,易证ACE≌△ABO, AOP≌△AEP,从而得PC=5由面积法,可求BF=2.4,从而AE:BF=5:6由面积法得,因此.

详解:

(1) 过点AADBCD,

∵点 A(2,0),B(0,4),OBC=90°,

D(4,2),

BD=2,

∵∠BAC=2ABO,

∴∠BAD=∠CAD,

又∵AD=AD, ∠ADB=ADC,

ABD≌△ACD,

BC=4,

C(4,4)

(2)当点POB上时,,

由题意得OA=2,OP=4-2t,

∴S=2×(4-2t) ×=4-2t;

当点Px轴负半轴上时,,

由题意得OA=2,OP=2t- 4,

∴S=2×(2t- 4) ×=2t- 4;

综上,

(3) AEPCE,作BFPCF,CGABG

S=3,

∴可得BP=3,OP=1

由(1)ABD≌△ACD

AB=AC

∵∠BAC=BPC

∴∠ACP=ABP

易证ACE≌△ABO,

AOP≌△AEP,

CE=BO=4,OP=EP=1,

AO=AE=2

PC=5(1分)

由面积法,可求BF=2.4

AE:BF=5:6

由面积法,

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