题目内容
【题目】阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．
请回答：
（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决.
请你帮小明计算：OC= ；tan∠AOD= ；
解决问题：
如图3，计算：tan∠AOD= ．
【答案】（1）见解析；（2）
；5；解决问题：
.
【解析】
（1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；
（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；
（3）如图，连接AE、BF，则AF=
，AB=
，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=
，在Rt△AOF中，可以求出OF=
，故可求得tan∠AOD．
解：（1）如图所示：
线段CD即为所求．
（2）如图2所示连接AC、DB、AD．
∵AD=DE=2，
∴AE=2
．
∵CD⊥AE，
∴DF=AF=．
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO．
∴CO：DO=2：3．
∴CO=
．
∴DO=
．
∴OF=
．
tan∠AOD=
= 5．
解决问题：如图3所示：
根据图形可知：BF=2，AE=5．
由勾股定理可知：AF=
=
，AB=
=
．
∵FB∥AE，
∴△AOE∽△BOF．
∴AO：OB=AE：FB=5：2．
∴AO=
．
在Rt△AOF中，OF=
=
．
∴tan∠AOD=
．
