Question

【题目】已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+ ，PA= ，则： ①线段PB= ， PC=；
②猜想：PA2 ， PB2 ， PQ2三者之间的数量关系为；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足 = ，求 的值．（提示：请利用备用图进行探求）

Answer 1

【答案】
（1）；2；?PA2+PB2=PQ2
（2）解：如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，

PB2=（DP﹣BD）2=（PD﹣DC）2=DC2﹣2DCPD+PD2，

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，

∴AP2+BP2=2PC2．

∵△CPQ为等腰直角三角形，

∴2PC2=PQ2．

∴AP2+BP2=PQ2

（3）解：如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

① 当点P位于点P1处时．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

在Rt△CP1D中，由勾股定理得： = = DC，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= = = DC，

∴ = ．

②当点P位于点P2处时．

∵ = ，

∴ ．

在Rt△CP2D中，由勾股定理得： = = ，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= = = DC，

∴ ．

综上所述， 的比值为 或

【解析】解：（1）如图①：
① △ABC是等腰直直角三角形，AC=1+
∴AB= = = + ，
∵PA= ，
∴PB= ，
作CD⊥AB于D，则AD=CD= ，
∴PD=AD﹣PA= ，
在Rt△PCD中，PC= =2，
故答案为： ，2；
②如图1．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD﹣PD）2=（DC﹣PD）2=DC2﹣2DCPD+PD2 ， PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2 ，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2 ，
∴AP2+BP2=2PC2 ．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2 ．
∴AP2+BP2=PQ2
（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；②△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，从而可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC﹣PD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2 ， 因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2 ， 所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP﹣BD）=（PD﹣DC），可证明AP2+BP2=2PC2 ， 因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2 ， 所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．