Question

【题目】提出问题：

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；
类比探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；
综合运用：
（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．

∴∠HAO+∠OAD=90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°．

∴∠HAO=∠ADO．

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE=DH

（2）

解：EF=GH．

将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．

将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，

∴AM⊥DN，

根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH

（3）

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD

∴∠AHO=∠CGO

∵FH∥EG

∴∠FHO=∠EGO

∴∠AHF=∠CGE

∴△AHF∽△CGE

∴

∵EC=2

∴AF=1

过F作FP⊥BC于P，

根据勾股定理得EF= ，

∵FH∥EG，

∴

根据（2）知EF=GH，

∴FO=HO．

∴ ，

，

∴阴影部分面积为 ．

【解析】（1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；（2）EF=GH．将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；（3）易得△AHF∽△CGE，所以 ，由EC=2得AF=1，过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得EF= ，因为FH∥EG，所以 ，根据（2）①知EF=GH，所以FO=HO，再求得三角形FOH与三角形EOG的面积相加即可．