Question

【题目】（模型建立）

（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．

求证：△CDA≌△BEC．

（模型运用）

（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．

（模型迁移）

如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）

【解析】

（1）由“AAS”可证△CDA≌△BEC；

（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E，由（1）可知△BOA≌△AED，可得DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，可求点D坐标，由待定系数法可求解析式；

（3）分两种情况讨论，通过证明△OAP≌△CPB，可得OP＝BC＝4，即可求点P坐标．

（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠D＝∠E＝90°，

∴∠BCE+∠CBE=90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

又CA＝BC，∠D＝∠E＝90°

∴△CDA≌△BEC（AAS）

（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E

∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，

∴A（﹣3，0），B（0，4），

∴OA＝3，OB＝4，

由（1）得△BOA≌△AED，

∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，

∴OE＝7，

∴D（﹣7，3）

设l2的解析式为y＝kx+b，

得

解得

∴直线l2的函数表达式为：

（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，

∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC

∴BC＝4，

∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，

∴AP＝BP，∠APB＝30°，

∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，

∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，

∴△OAP≌△CPB（AAS）

∴OP＝BC＝4，

∴点P（4，0）

若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，

∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC

∴BC＝4，

∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，

∴AP＝BP，∠APB＝30°，

∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，

∴∠APE＝∠PBC，

∵∠AOE＝∠BCO＝30°，

∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB

∴△OAP≌△CPB（AAS）

∴OP＝BC＝4，

∴点P（﹣4，0）

综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）