题目内容
【题目】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． 
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC= 
，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
【答案】
（1）解：如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD= 
∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线
（2）解：①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC= 
=66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB=96°或114°．
（3）解：由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，
∴ 
，设BD=x，
∴（ 
）2=x（x+2），
∵x＞0，
∴x= 
﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴ 
= 
= 
，
∴CD= ×2= 
﹣
【解析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得 ，列出方程即可解决问题．
