题目内容

【题目】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.
(3)如图2,△ABC中,AC=2,BC= ,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.

【答案】
(1)解:如图1中,∵∠A=40°,∠B=60°,

∴∠ACB=80°,

∴△ABC不是等腰三角形,

∵CD平分∠ACB,

∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°,

∴∠ACD=∠A=40°,

∴△ACD为等腰三角形,

∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,

∴△BCD∽△BAC,

∴CD是△ABC的完美分割线


(2)解:①当AD=CD时,如图2,∠ACD=∠A=48°,

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=∠A=48°,

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.

②当AD=AC时,如图3中,∠ACD=∠ADC= =66°,

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=∠A=48°,

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.

③当AC=CD时,如图4中,∠ADC=∠A=48°,

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=∠A=48°,

∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍弃.

∴∠ACB=96°或114°.


(3)解:由已知AC=AD=2,

∵△BCD∽△BAC,

,设BD=x,

∴( 2=x(x+2),

∵x>0,

∴x= ﹣1,

∵△BCD∽△BAC,

= =

∴CD= ×2=


【解析】(1)根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形,②△ACD是等腰三角形,③△BDC∽△BCA即可.(2)分三种情形讨论即可①如图2,当AD=CD时,②如图3中,当AD=AC时,③如图4中,当AC=CD时,分别求出∠ACB即可.(3)设BD=x,利用△BCD∽△BAC,得 ,列出方程即可解决问题.

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