Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于E，AC平分∠DAE．

（1）直线DE与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
（2）若AC=，⊙O的半径为1，求CD的长及由弧BC、线段BD、CD所围成的阴影部分的面积．

Answer 1

（1）直线DE与⊙O相切，理由见解析；（2），.

试题分析：（1）连接OC，证明∠OCD=90°，从而判断CD与⊙O相切．易证∠COD=60°，所以∠OCD=90°，从而得证；
（2）利用“切割法”解答，即S_阴影=S△_OCD-S_扇形OCB．
试题解析：（1）CD是⊙O的切线．理由如下：
∵DC=AC，∠CAB=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°（等边对等角）．
连接OC．

∴∠COB=60°，即∠COD=60°（在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．
在△COD中，∠CDO=30°，∠COD=60°，
∴∠DCO=90°．
又∵点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切；
（2）连接BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）．
∵∠CAB=30°，
∴∠COD=2∠CAB=60°，OC=AB=1，
∴在Rt△OCD中，CD=OC×tan60°=，
∴S_阴影=S△_OCD-S_扇形OCB=×1×-= ．
考点: 1.切线的判定；2.扇形面积的计算.